よく「アリアリ」とか「喰いタン」、「後付け」といった言葉を聞きますが、それぞれを分かりやすく解説してみたいと思います。
アリアリ⇒喰いタンあり・後付けあり
アリナシ⇒喰いタンあり・後付けなし
ナシアリ⇒喰いタンなし・後付けあり
ナシナシ⇒喰いタンなし・後付けなし
要するに「アリアリ」とか「ナシナシ」というのはタンヤオと役の後付けをどのように扱うかの取り決めのことです。
次項から「喰いタン」と「後付け」について説明していきます。
喰いタンとは

「喰いタン」とは鳴き(ポン・チー・ミンカン)の入ったタンヤオのことです。
タンヤオは麻雀の役の中でも最初に覚えるくらい基本的な役で、数字の2〜8だけを使って作られた役です。

一般的には鳴いても成立する役とされることが多いようです。つまり「喰いタンあり」が多いということです。

このようにチーをしていても、タンヤオが成立するのが「喰いタンあり」ルールです。
後付けとは

少しややこしいです。後付けとはその名のとおり、後から役をつけることを言います。
ここからの内容は「後付けあり」ルールであれば関係のないことですが、「後付けなし」ルールの場合は気を付けなければなりません。
1.テンパイの時点で役が確定していない
たとえば、このようなケースがあります。
【ケース1】

では役がないのであがれませんが、
だと役牌という役がつくのであがれる、とするのが「後付けあり」のルールです。
このような片方は役なしであがれない、もう片方なら役が付いてあがれる状態を「片アガリ」と言います。
あがるまで役が確定しないことから役の「後付け」としてあがれない、とするのが「後付けなし」のルールです。
一方で下の手の場合はどうでしょうか。
【ケース2】

この場合はが既に暗刻でありますので、役牌という役が確定しています。
「役の後付け」にはならずと
のどちらでもあがることができます。
【ケース3】

これはと
のどちらでも役牌という役になるので、この時点で役は確定していることとなり「後付け」にはなりません。どちらでもあがることができます。
2.鳴きの時点で役が確定していない
たとえば、こんなケースです。

をコーツで持っているので役牌という役がつきますが、先にチーをしています。
チーをした後に役牌という役をつけているので「後付け」となりあがることはできません。
をもう一枚自力でツモってきて暗刻にすればあがれます。実際には中の暗刻の方がチーよりも後にできていますが、それは他家には見えませんので問題ありません。